|
(совместно с
А.А.Мкртчян) Сколько наборов элементов группы обладает данным свойством? arXiv:1205.2824 | Теорема Гордона–Родригеса-Виллегаса, обобщающая теорему Соломона, говорит, что в любой группе число решений системы уравнений без коэффициентов делится на порядок этой группы, если ранг матрицы, составленной из сумм показателей степеней при i-м неизвестном в j-м уравнении, меньше числа неизвестных. Мы обобщаем эту теорему в двух направлениях: во-первых, мы рассматриваем уравнения с коэффициентами, а во-вторых, мы рассматриваем не только системы уравнений, но и произвольные формулы первого порядка в групповом языке (с константами). Из нашей теоремы можно вывести разные забавные факты. Например, число элементов группы, квадраты которых лежат в данной подгруппе, делится на порядок этой подгруппы. |
|
(совместно с
В.Брагиным и А.Б.Скопенковым) Когда любая группа из n элементов циклическая? arXiv:1108.5406 | В этой заметке, предназначенной для старшеклассников и младшекурсников, совсем элементарными средствами доказывается известный факт: все группы порядка n являются циклическими тогда и только тогда, когда n взаимно просто с φ(n). |
|
(совместно с
Е.В.Меньшовой) Тождества аддитивной двоичной арифметики The identities of additive binary arithmetics Electronic Journal of Combinatorics, 2012, 19, #P40 arXiv:1102.5555 | Операции произвольной арности, выражающиеся через сложение по модулю 2n и побитовое сложение по модулю 2, допускают простое описание. Тождества, связывающие эти два сложения, имеют конечный базис. Более того, универсальная алгебра Z/2nZ с этими двумя операциями рационально эквивалентна нильпотентному кольцу и, следовательно, порождает шпехтово многообразие. |
|
(совместно с
Д.В.Барановым) Экономное присоединение квадратных корней к группам Сибирский мат. журнал, 2012, 53:2, 250-257 arXiv:1101.3019 | Насколько нужно увеличить группу, чтобы в получившейся группе все элементы исходной группы являлись квадратами? Мы даём довольно точный ответ на этот вопрос (наилучшая возможная оценка сверху отличается от полученной оценки не более, чем в два раза) и формулируем несколько открытых вопросов на эту тему. |
|
(совместно с
Д.Е.Лурье) Относительная гиперболичность и близкие свойства относительных копредставлений с одним дополнительным образующим и одним соотношением, являющимся истинной степенью унимодулярного слова Relative hyperbolicity and similar properties of one-generator one-relator relative presentations with powered unimodular relator Journal of Pure and Applied Algebra, 2012, 216:3, 524-534 arXiv:1010.4220 | Если к нетривиальной группе добавить один образующий и одно соотношение, являющееся истинной степенью слова с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то полученная группа будет содержать в качестве подгруппы свободный квадрат исходной группы, а также почти всегда (кроме одного очевидного исключения) будет содержать неабелеву свободную подгруппу. Если исходная группа не имеет инволюций или соотношение является по крайней мере третьей степенью, то полученная группа относительно гиперболична относительно исходной группы и SQ-универсальна. |
|
Комбинаторная теория групп и геометрия
Мат. просвещение, 2009, 13, 18-32 | В этой статье, предназначенной для детей от пятнадцати до девяноста девяти лет, в популярной форме рассказывается о некоторых связях между комбинаторной теорией групп и геометрией: о геометрической интерпретации вывода следствий из соотношений и о теории малых сокращений. |
|
(совместно с
Н.Ю.Макаренко,
Ю.Б.Мельниковой и Е.И.Хухро) Инвариантность относительно автоморфизмов и тождества Automorphism invariance and identities Bull. London Math. Soc., 2009, 41:5, 804-816 arXiv:0812.1359 | Если внешнее (полилинейное) коммутаторное тождество выполняется в большой подгруппе некоторой группы, то оно выполняется также в некоторой большой характеристической подгруппе. Аналогичные утверждения справедливы для алгебр и их идеалов или подпространств. Варьируя значение слова «большой», мы получаем много интересных фактов. Для произвольных (неполилинейных) тождеств аналогичные утверждения, вообще говоря, неверны. В качестве приложения полученных результатов мы получаем неулучшаемую оценку на ступень почти разрешимости расширений почти разрешимых групп при помощи почти разрешимых. |
|
(совместно с
Ю.Б.Мельниковой) Короткое доказательство теоремы Макаренко–Хухро о больших характеристических подгруппах с тождеством Мат. сборник, 2009, 200:5, 33-36 arXiv:0805.2747 | Предлагается короткое доказательство и некоторое усиление теоремы Макаренко–Хухро о том, что каждая группа, почти удовлетворяющая внешнему коммутаторному тождеству, содержит характеристическую подгруппу конечного индекса, удовлетворяющую этому тождеству. Мы получаем также оценку для индекса такой характеристической подгруппы. |
|
Автоморфизмы и изоморфизмы групп и алгебр Шевалле
Automorphisms and isomorphisms of Chevalley groups and algebras Journal of Algebra, 2010, 324:10, 2608-2619 arXiv:0708.2256 | Присоединённая группа Шевалле ранга большего единицы над Q-алгеброй (или похожим кольцом), её элементарная подгруппа и соответствующее кольцо Ли имеют одинаковые группы автоморфизмов. Эти автоморфизмы явно описаны. |
|
Строение относительных копредставлений с одним соотношением
и их центры
The structure of one-relator relative presentations and their centres Journal of Group Theory, 2009, 12:6, 923-947 arXiv:math.GR/0701308 | Пусть G — нетривиальная группа без кручения и w — слово в алфавите GU{x1±1,..., xn±1} такое, что слово w', получающееся из w стиранием букв, лежащих в G, не является истинной степенью в свободной группе F(x1,..., xn). Мы показываем как свести изучение относительного копредставления H=<G, x1,..., xn | w=1> к случаю n=1. Оказывается, что «n-мерная» группа H может быть построена из аналогичных «одномерных» групп при помощи некоторой явной конструкции, отдалённо напоминающей сплетение. В качестве иллюстрации мы доказываем, что при n>1 центр группы H всегда тривиален. При n=1 центр группы H также почти всегда оказывается тривиальным; имеется несколько исключений и все они известны. |
|
SQ-универсальность относительных копредставлений с одним соотношением
Мат. сборник, 2006, 197:10, 87-108 arXiv:math.GR/0603468 | Если к нетривиальной группе без кручения добавить два образующих и одно произвольное соотношение, то всегда получится SQ-универсальная группа. По ходу доказательства этого утверждения мы устанавливаем ещё несколько фактов, имеющих самостоятельный интерес. Например, если к свободному произведению двух нетривиальных групп без кручения добавить один образующий и одно соотношение с единичной суммой показателей степеней при добавленном образующем, то также получится SQ-универсальная группа. |
|
Свободные подгруппы относительных копредставлений с одним соотношением
Алгебра и логика, 2007, 46:3, 290-298 arXiv:math.GR/0510582 | Пусть G — нетривиальная группа без кручения и w — произвольное слово в алфавите GU{x1±1,..., xn±1}. Мы доказываем, что при n>1 группа H=<G, x1,..., xn | w=1> всегда содержит неабелеву свободную подгруппу. При n=1 на вопрос о наличии свободных подгрупп в H удаётся полностью ответить в унимодулярном случае (то есть когда сумма показателей при x1 в слове w равна единице). В работе обсуждаются также некоторые обобщения этих результатов. |
|
(совместно с
А.В.Трофимовым) Число нерешений уравнения в группе и нетопологизируемые группы без кручения The number of non-solutions of an equation in a group Journal of Group Theory, 2005, 8:6, 747-754 arXiv:math.GR/0411156 | Показано, что для любой пары кардиналов с бесконечной суммой найдётся такая группа и такое уравнение над этой группой, что первый кардинал является числом решений этого уравнения, а второй кардинал является числом нерешений этого уравнения. Построена бесконечная счётная нетопологизируемая группа без кручения. |
|
Гипотеза Кервера–Лауденбаха и копредставления простых групп
Алгебра и логика, 2005, 44:4, 399-437 arXiv:math.GR/0409146 |
Утверждение о том, что из непростой группы нельзя получить
неабелеву простую группу путём добавления одного образующего и одного
определяющего соотношения,
1) эквивалентно гипотезе Кервера–Лауденбаха; 2) становится верным при дополнительном предположении, что исходная непростая группа либо конечна, либо, напротив того, не имеет кручения. |
|
Как обобщить известные результаты об уравнениях над группами
Мат. заметки, 2006, 79:3, 409-419 arXiv:math.GR/0406382 | Известные факты о разрешимости уравнений над группами рассматриваются с более общей точки зрения. Доказывается обобщённый аналог теоремы о разрешимости унимодулярных уравнений над группами без кручения, который в качестве частного случая включает в себя многомерный вариант этой теоремы. Доказывается, что для унимодулярных уравнений над группами без кручения выполняется аналог теоремы Магнуса о свободе в том смысле, что существует решение, которое хорошо себя ведёт по отношению к свободным сомножителям исходной группы. |
English versions of my papers, а также работы других авторов по теории групп и иным разделам математики и физики можно найти в арХиве.
Интересные статьи можно ещё поискать здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь, здесь и здесь.
Рефераты на разные статьи можно попробовать найти здесь, а также здесь и здесь, если у Вас есть доступ.
Полезные книжки вы можете найти в «Генезисе», в «Колхозе» и в Библиотеке мех-мата. Можно также воспользоваться этим поисковиком.
Нерешённые пока задачи тоже нетрудно найти. ↑↑↑