Программа курса классической дифференциальной геометрии, 1 поток,
2010 г.


1. Гладкие кривые. Регулярность. Локальная эквивалентность трех
способов задания кривой на плоскости. Параметризации.

2. Длина дуги гладкой регулярной кривой. Натуральный параметр.

3. Кривизна. Соприкасающаяся окружность.

4. Сопровождающий репер плоской кривой. Формулы Френе для плоской
кривой.

5. Восстановление плоской кривой по кривизне. Ориентированная
кривизна кривой на плоскости.

6. Кривые в пространстве. Соприкасающаяся плоскость
пространственной кривой. Репер Френе кривой в пространстве.

7. Формулы Френе. Кривизна и кручение. 

8. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.

9. Восстановление пространственной кривой по кривизне и кручению.

10. Поверхности. Гладкая регулярная параметризованная поверхность.
Репараметризация. Криволинейные координаты. Эквивалентность трех
способов задания поверхности.

11. Касательный вектор к поверхности, касательная плоскость. Кривые
на поверхности.

12. Первая квадратичная форма, ее свойства, связь с длиной дуги
кривой и с площадью. Локальная изометричность поверхностей.

13. Вторая квадратичная форма.

14. Взаимное расположение поверхности и касательной плоскости. Классификация точек поверхности.

15. Плоские сечения. Нормальные плоские сечения. Кривизна кривых
на поверхности и вторая квадратичная форма. Формула Менье.

16. Главные направления и главные кривизны. Формула Эйлера.

17. Гауссова и средняя кривизна.

18. Гауссово отображение и геометрический смысл Гауссовой кривизны.

19. Деривационные формулы Гаусса--Вейнгартена.

20. Формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци. Теорема Бонне о восстановлении поверхности по первой и второй квадратичным формам (формулировка).

21. Теорема Гаусса о зависимости гауссовой кривизны только от
первой квадратичной формы и ее первых и вторых производных.

22. Определение геодезической линии на поверхности. Уравнения
геодезических. Пропорциональность параметра вдоль решения
натуральному. 

23. Существование и единственность геодезической,
проходящей через заданную точку в заданном направлении.
Геодезические на плоскости, на сфере.

24. Полугеодезические системы координат, их существование.

25. Экстремальное свойство геодезических.

26. Теорема о существовании геодезической, соединяющей близкие
точки.

27. Символы Кристоффеля и гауссова кривизна  в полугеодезической системе координат. 

28. Геодезические на повехности вращения. Теорема Клеро.

29. Специальная полугеодезическая система координат.
Формула гауссовой кривизны в такой системе координат как дифференциальное уравнение. Метрики постоянной гауссовой кривизны. Существование поверхностей постоянной кривизны. Их единственность (с точностью до локальной изометрии).

30. Параллельное перенесение векторов вдоль кривой на поверхности. Векторное поле на кривой. Параллельность поля вдоль кривой. Уравнения параллельного переноса. Существование и единственность решения.

31. Свойства векторных полей, параллельных вдоль кривой. Параллельный перенос вдоль геодезических.

32. Теорема о параллельном перенесении вектора вдоль замкнутого
контура.

33. Формула суммы углов геодезического треугольника.

34. Псевдосфера как модель неевклидовой геометрии. "Прямые" как
центральные плоские сечения псевдосферы. Формулы стереографической
проекции. Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. Абсолют.
"Прямые" в модели Пуанкаре.

35. Метрика модели Пуанкаре, определенная псевдоевклидовым
скалярным произведением. Ее гауссова кривизна.

36. Группа изометрий. Примеры подгрупп группы изометрий 
модели Пуанкаре.

37. Существование изометрий, переводящих одну "прямую" в другую
в модели Пуанкаре.

38. Геодезические в модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.

39. $k$-мерные поверхности в $m$-мерном евклидовом пространстве. Локальная
эквивалентность трех способов задания поверхности. Примеры.

40. Соприкасающиеся кривые на поверхности. Определение 
касательного вектора. Гладкие функции на поверхности. 
Производная вдоль вектора, ее свойства. Касательные векторы как операции дифференцирования.