Глава 6. Вычисление числа π

Способы приближённого вычисления числа π
Постановка задачи
Идеи реализации
Суммирование рядов и вычисление произведений
Вывод произведения Виета
Метод Монте-Карло
Игла Бюффона
Вычисление по формуле Броункера
Готовая программа
Ряд Лейбница
Ряд Эйлера
Произведение Валлиса
Произведение Виета
Метод Монте-Карло
Сравнение разных методов вычисления

Одиннадцать первых цифр числа π = 3,1415926535… легко запомнить с помощью такой мнемоники:

Её придумали до реформы русской орфографии 1918 года, поэтому и буквы «ѥръ» в конце слов после согласных.

Как известно, число π иррационально, следовательно, его точное числовое представление в памяти компьютера невозможно. Однако можно поставить задачу о вычислении π с некоторой точностью.

Для приближённого вычисления числа π применяются разные методы.

Один из способов (на практике не очень удобный) связан с вычислением бесконечной суммы (ряда) Лейбница: 1 1 3 + 1 5 1 7 + = i = 0 1 i 2 i + 1 = π 4 .

Можно получить π из суммы другого ряда — ряда Эйлера: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + = i = 1 1 i 2 = π 2 6 .

Естественно, на компьютере невозможно осуществить вычисление бесконечной суммы. Однако в математическом анализе доказывается, что оба ряда сходятся. Это значит, что последовательности частных сумм стремятся к некоторым числам (в наших примерах к π 4 и π 2 6 ), то есть сумма достаточно большого количества слагаемых ряда даст хорошее приближение для суммы. Задавшись требуемой точностью, можно даже указать необходимые количества слагаемых, чтобы обеспечить вычисление с этой точностью (конечно, без учёта ошибок округления при выполнении арифметических действий — такие ошибки очень трудно контролировать).

[Примечание]Примечание

Наряду с бесконечными суммами (рядами) рассматривают также бесконечные произведения и другие бесконечные выражения.

Среди бесконечных произведений, пригодных для вычисления числа π, следует отметить произведение Валлиса 2 2 1 3 4 2 3 5 6 2 5 7 8 2 7 9 = i = 1 2 i 2 2 i 1 2 i + 1 = π 2 и произведение Виета 2 2 2 2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 2 + 2 + 2 + 2 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = π 2 .

Информатика-54© А. Н. Швец