Программа спецкурса «С*-алгебры и К-теория»

(В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий, 2009/2010 уч. год)

Осенний семестр

1. С*-алгебры – определение и примеры.
2. Присоединение единицы к С*-алгебре.
3. Спектр элемента С*-алгебры, его свойства.
4. Коммутативные С*-алгебры. Пространство максимальных идеалов. Преобразование Гельфанда.
5. Теорема Гельфанда о коммутативных С*-алгебрах.
6. С*-алгебра, порожденная нормальным элементом. Функциональное исчисление для нормальных операторов.
7. Положительные элементы, их свойства.
8. Аппроксимативные единицы, их существование.
9. Идеалы, фактор-алгебры, наследственные подалгебры.
10. Автоматическая непрерывность *-гомоморфизмов.
11. Алгебры фон Неймана. Теорема о бикоммутанте.
12. Топологически неприводимые представления.
13. Положительные функционалы, состояния.
14. ГНС-конструкция.
15. Теорема Гельфанда-Наймарка о представимости С*-алгебр.
16. Невырожденные представления. Связь между представлениями идеала и С*-алгебры.
17. С*-алгебры компактных операторов.
18. Мультипликаторы и централизаторы. Алгебра мультипликаторов.

Весенний семестр

19. Конечномерные С*-алгебры, их представления.
20. Аппроксимативно конечные С*-алгебры, диаграммы Браттели.
21. С*-алгебры иррационального вращения.
22. Гомотопии в некоторых классах операторов.
23. Проекторы и частичные изометрии.
24. Эквивалентности проекторов.
25. Представление некоторых алгебр в виде матричных.
26. Группа Гротендика.
27. Эквивалентность проекторов в бесконечномерной матричной алгебре.
28. Группа K₀(A).
29. Представление элементов K₀(A) в различных формах.
30. K₀(A) и индуктивные пределы.
31. Стабильность и вычисление для компактных операторов.
32. Короткая точная последовательность.
33. Гомотопическая инвариантность.