Задачи на тему
"Вычисление стандартных функций с помощью суммирования рядов"

Во всех задачах надо вычислить стандартную функцию с точностью ε=1e-12. Для небольших значений x это делается с помощью суммирования степенного ряда. Для значений x, при которых ряд не сходится или сходится очень медленно, надо воспользоваться какой-либо формулой, позволяющей свести вычисление нужной функции к вычислению ее или других функций при "хороших" значениях x. Например, формула

arctg(x) = 2*arctg(y),
y = (sqrt(1 + x*x) - 1)/x,
позволяет вычислить arctg(1)=π/4, сведя задачу к суммированию степенного ряда для
y = sqrt(2) - 1.

Список задач

  1. Вычислить arctg(x).

    Поскольку ряд $$ \text{arctg}(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + \dots $$ сходится лишь в интервале $(-1, 1)$ (для $x=1$ он тоже сходится, но фантастически медленно), его можно суммировать лишь для значений $|x| < 1$. Для проивольного значения $x \ge 1$ можно воспользоваться формулой $$ \begin{array}{l} \text{arctg}(x) = 2 \cdot \text{arctg}(y),\quad \text{где}\\ y = (\sqrt{1 + x^2} - 1)/x \end{array} $$ (учитывая нечетность функции $\text{arctg}(x)$, можно считать, что $x > 0$). Формула позволяет свести вычисление значения функции $\text{arctg}(x)$ для произвольного $x$ к суммированию ряда для $\text{arctg}(y)$ при $0 < y < 1$.

    Доказательство формулы. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $$ \text{tg}(2z) = \text{sin}(2z)/\text{cos}(2z) = \frac{2\text{sin}(z)\text{cos}(z)}{\text{cos}^2(z) - \text{sin}^2(z)} = \frac{2\cdot\text{tg}(z)}{1 - \text{tg}^2(z)} $$ Обозначим $2z = \text{arctg}(x)$, тогда $\text{tg}(2z) = x$. Имеем $$ x = \frac{2\cdot\text{tg}(z)}{1 - \text{tg}^2(z)} $$ Это равенство позволяет выразить $\text{tg}(z)$ через $x$. Обозначим $\text{tg}(z) = y$. Получим квадратное уравнение: $$ x = \frac{2y}{1 - y^2} \quad \Rightarrow \quad y^2 x + 2y - x = 0, $$ откуда, учитывая ограничение $y > 0$, получаем $$ y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4x^2}}{2x} = (-1 + \sqrt{1 + x^2})/x $$ Учитывая, что $y = \text{tg}(z)$, получаем $$ z = \text{arctg}(y) = \text{arctg}((\sqrt{1 + x^2} - 1)/x) $$ Поскольку $2z = \text{arctg}(x)$, окончательно получаем формулу при $x > 0$: $$ \text{arctg}(x) = 2\cdot \text{arctg}((\sqrt{1 + x^2} - 1)/x) $$ Покажем теперь, что $0 < y < 1$. Действительно, поскольку $x > 0$, то $$ y = (\sqrt{1 + x^2} - 1)/x < (\sqrt{1 + 2x + x^2} - 1)/x = ((x + 1) - 1)/x = 1 $$


  2. Вычислить arcsin(x).

    Ряд для функции $\text{arcsin}(x)$ сходится очень плохо вблизи точек $x = \pm 1$, поскольку в этих точках производная функции бесконечна. Решение состоит в том, чтобы свести вычисление $\text{arcsin}(x)$ к вычислению функции arctg. Поскольку функция $\text{arcsin}(x)$ нечетная, можно считать, что $0 < x < 1$ (при $x=1$ $\text{arcsin}(x) = \pi/2$ и можно воспользоваться константой $\pi$). Пусть $y = \text{arcsin}(x)$, тогда $x = \text{sin}(y)$ и $$ \text{tg}(y) = \text{sin}(y)/\text{cos}(y) = x/\sqrt{1 - x^2} $$ Поэтому $$ y = \text{arctg}(x/\sqrt{1 - x^2}) $$ При решении данной задачи можно считать, что функция $\text{arctg}$ уже реализована (это первая задача), и воспользоваться библиотечной функцией $\text{atan}(x)$.


  3. Вычислить arccos(x).

    Как и в предыдущей задаче, сведем вычисление $y = \text{arccos}(x)$ к вычислению функции arctg. Имеем $x = \text{cos}(y)$, поэтому $$ \text{tg}(y) = \text{sin}(y)/\text{cos}(y) = \sqrt{1 - x^2}/x $$ (мы воспользовались тем, что $y = \text{arccos}(x)$, следовательно, $0 \le y \le \pi$ и $\text{sin}(y) \ge 0$; можно считать также, что $x \ne 0$, поскольку при $x = 0$ $\text{arccos}(x) = \pi/2$ и в программе можно воспользоваться константой $\pi$). Заметим также, что функция $\text{tg}(y)$ периодическая с периодом $\pi$. Поэтому из предыдущего равенства следует, что $$ y = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) + \pi k, \quad k\in\Bbb{Z}. $$ Если $0 < x \le 1$, то $0 \le \text{arccos}(x) < \pi/2$, поэтому $k = 0$ и $$ y = \text{arccos}(x) = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) \quad \text{при}\ x > 0. $$ Если $-1 \le x < 0$, то $\pi/2 < \text{arccos}(x) \le \pi$, поэтому $k = 1$ и $$ y = \text{arccos}(x) = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) + \pi\quad \text{при}\ x < 0. $$ Наконец, $\text{arccos}(0) = \pi/2$.

    Как и в предыдущей задаче, можно считать, что функция $\text{arctg}$ уже реализована, и воспользоваться библиотечной функцией $\text{atan}(x)$, а также константой $\pi$.


  4. Вычислить ln(x).

    В принципе, можно свести вычисление логарифма произвольного числа к суммированию ряда для маленького x. Однако есть более интересный алгорим, основанный на применении схемы инварианта цикла.

    Итак, пусть дано число $x > 0$, и надо приближенно вычислить $\ln(x)$ с точностью $\varepsilon$: $$ y = \ln(x) $$ Это означает, что $$ e^y = x $$ Используем следующий инвариант цикла: $$ e^y\cdot z^t = x $$ В цикле будут изменяться 3 переменные $y$, $z$, $t$ так, чтобы инвариант сохранялся (т.е. выполнялось бы это равенство). Начальные значения этих трех переменных подбираются так, чтобы инвариант выполнялся: $$ y = 0,\quad z = x,\quad t = 1. $$ Пусть инвариант выполняется. В каком случае мы сразу можем выдать ответ? Тогда, когда выполняется приблизительное равенство $$ z^t \approx 1, $$ в этом случае из выполнения инварианта $$ e^y\cdot z^t = x $$ следует, что $$ e^y\cdot z^t \approx e^y\cdot 1 \approx x, $$ то есть $$ y \approx \ln(x) $$ и ответ содержится в переменной $y$.

    Значит, наша цель — добиться того, чтобы $z^t \approx 1$. Для этого достаточно, чтобы показатель $t$ степени был бы очень мал, а основание $z$ степени было бы не очень мало и не очень велико. Точнее, достаточно, чтобы выполнялись неравенства $$ 1/e \le z \le e\quad \text{и}\quad |t| \le \varepsilon. $$ Это условие завершения цикла.

    В цикле мы будем выполнять действия так, чтобы переменная $t$ по модулю только уменьшалась, а переменная $z$ рано или поздно входила бы в интервал $1/e \le z \le e$, и при этом величина $e^y\cdot z^t$ сохранялась бы. Вот какие действия для этого выполняются: $$ \begin{array}{lll} z > e \quad & \Longrightarrow \quad & z = z/e,\quad y = y+t \\ z < e \quad & \Longrightarrow \quad & z = z\cdot e,\quad y = y-t \\ \text{иначе} &\Longrightarrow \quad & z = z^2,\quad t = t/2 \\ \end{array} $$

    Напишем алгоритм приближенного вычисления $\ln(x)$ на псевдокоде:

    Дано: x > 0, малое ε > 0
    Надо: вычислить ln(x) с точностью ε
    
        e = 2.7182818284590452354
        y = 0; z = x; t = 1
        цикл пока z < 1/e или z > e или |t| > ε
        |    если z < 1/e
        |    | z = z*e; y = y - t
        |    иначе если z > e
        |    | z = z/e; y = y + t   
        |    иначе
        |    | z = z*z; t = t/2
        |    конец если
        конец цикла
        ответ = y
    


  5. Вычислить xα

    Вычисление степенной функции можно свести к вычислению экспоненты и логарифма. А именно, поскольку $x = e^{\ln(x)}$, то $$ x^\alpha = (e^{\ln(x)})^\alpha = e^{\alpha\ln(x)} $$ В этой задаче будем считать, что мы уже умеем вычислять $\ln(x)$ (это задача 4) и можно просто воспользоваться стандартной функцией log(x) языка C из математической библиотеки (она вычисляет натуральный логарифм). Остается самостоятельно написать алгоритм вычисления экспоненты как суммы ряда: $$ e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + \dots $$ Теоретически ряд сходится для любых значений $x$, но на практике из-за ошибок округления его можно суммировать только для небольших значений $x$, например, при $|x| < 1$. Для сведения вычисления экспоненты к суммированию ряда для значений $|x| < 1$ воспользуемся следующим соображением. Выделим целую и дробную части $x$: $$ x = k + r, \quad \text{где}\quad k\in{\bf{Z}}\quad\text{и}\quad |r| < 1 $$ Тогда $$ e^x = e^k \cdot e^r $$ Мы вычисляем $e^k$, просто возводя константу $$ e = 2.7182818284590452354 $$ в целую степень $k$, а $e^r$ вычисляем как сумму ряда.