Задачи на тему
"Вычисление стандартных функций с помощью суммирования рядов"
Во всех задачах надо вычислить стандартную функцию с
точностью ε=1e-12. Для небольших значений x
это делается с помощью суммирования степенного ряда.
Для значений x, при которых ряд не сходится или
сходится очень медленно, надо воспользоваться какой-либо
формулой, позволяющей свести вычисление нужной функции
к вычислению ее или других функций при "хороших" значениях
x. Например, формула
arctg(x) = 2*arctg(y),
y = (sqrt(1 + x*x) - 1)/x,
позволяет вычислить arctg(1)=π/4, сведя задачу к
суммированию степенного ряда для
y = sqrt(2) - 1.
Список задач
-
Вычислить
arctg(x).
Поскольку ряд
$$
\text{arctg}(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + \dots
$$
сходится лишь в интервале $(-1, 1)$ (для $x=1$ он тоже сходится,
но фантастически медленно),
его можно суммировать лишь для значений $|x| < 1$. Для проивольного значения
$x \ge 1$ можно воспользоваться формулой
$$
\begin{array}{l}
\text{arctg}(x) = 2 \cdot \text{arctg}(y),\quad \text{где}\\
y = (\sqrt{1 + x^2} - 1)/x
\end{array}
$$
(учитывая нечетность функции $\text{arctg}(x)$, можно считать,
что $x > 0$). Формула позволяет свести вычисление значения функции
$\text{arctg}(x)$ для произвольного $x$ к суммированию ряда для
$\text{arctg}(y)$ при $0 < y < 1$.
Доказательство формулы.
Воспользуемся формулой тангенса двойного угла:
$$
\text{tg}(2z) = \text{sin}(2z)/\text{cos}(2z) =
\frac{2\text{sin}(z)\text{cos}(z)}{\text{cos}^2(z) - \text{sin}^2(z)} =
\frac{2\cdot\text{tg}(z)}{1 - \text{tg}^2(z)}
$$
Обозначим $2z = \text{arctg}(x)$, тогда $\text{tg}(2z) = x$. Имеем
$$
x =
\frac{2\cdot\text{tg}(z)}{1 - \text{tg}^2(z)}
$$
Это равенство позволяет выразить $\text{tg}(z)$ через $x$.
Обозначим $\text{tg}(z) = y$. Получим квадратное уравнение:
$$
x =
\frac{2y}{1 - y^2} \quad \Rightarrow \quad
y^2 x + 2y - x = 0,
$$
откуда, учитывая ограничение $y > 0$, получаем
$$
y = \frac{-2 + \sqrt{4 + 4x^2}}{2x} = (-1 + \sqrt{1 + x^2})/x
$$
Учитывая, что $y = \text{tg}(z)$, получаем
$$
z = \text{arctg}(y) = \text{arctg}((\sqrt{1 + x^2} - 1)/x)
$$
Поскольку $2z = \text{arctg}(x)$, окончательно получаем формулу при
$x > 0$:
$$
\text{arctg}(x) = 2\cdot \text{arctg}((\sqrt{1 + x^2} - 1)/x)
$$
Покажем теперь, что $0 < y < 1$. Действительно, поскольку $x > 0$, то
$$
y = (\sqrt{1 + x^2} - 1)/x < (\sqrt{1 + 2x + x^2} - 1)/x =
((x + 1) - 1)/x = 1
$$
-
Вычислить
arcsin(x).
Ряд для функции $\text{arcsin}(x)$ сходится очень плохо вблизи точек
$x = \pm 1$, поскольку в этих точках производная функции бесконечна.
Решение состоит в том, чтобы свести вычисление $\text{arcsin}(x)$
к вычислению функции arctg. Поскольку функция $\text{arcsin}(x)$
нечетная, можно считать, что $0 < x < 1$ (при $x=1$
$\text{arcsin}(x) = \pi/2$ и можно воспользоваться константой $\pi$).
Пусть $y = \text{arcsin}(x)$, тогда $x = \text{sin}(y)$ и
$$
\text{tg}(y) = \text{sin}(y)/\text{cos}(y) =
x/\sqrt{1 - x^2}
$$
Поэтому
$$
y = \text{arctg}(x/\sqrt{1 - x^2})
$$
При решении данной задачи можно считать, что функция $\text{arctg}$
уже реализована (это первая задача), и воспользоваться библиотечной
функцией $\text{atan}(x)$.
-
Вычислить
arccos(x).
Как и в предыдущей задаче, сведем вычисление $y = \text{arccos}(x)$
к вычислению функции arctg. Имеем $x = \text{cos}(y)$, поэтому
$$
\text{tg}(y) = \text{sin}(y)/\text{cos}(y) =
\sqrt{1 - x^2}/x
$$
(мы воспользовались тем, что $y = \text{arccos}(x)$, следовательно,
$0 \le y \le \pi$ и $\text{sin}(y) \ge 0$; можно считать также, что
$x \ne 0$, поскольку при $x = 0$ $\text{arccos}(x) = \pi/2$
и в программе можно воспользоваться константой $\pi$).
Заметим также, что функция $\text{tg}(y)$ периодическая с периодом $\pi$.
Поэтому из предыдущего равенства следует, что
$$
y = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) + \pi k, \quad k\in\Bbb{Z}.
$$
Если $0 < x \le 1$, то $0 \le \text{arccos}(x) < \pi/2$, поэтому $k = 0$
и
$$
y = \text{arccos}(x) = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) \quad
\text{при}\ x > 0.
$$
Если $-1 \le x < 0$, то $\pi/2 < \text{arccos}(x) \le \pi$, поэтому $k = 1$
и
$$
y = \text{arccos}(x) = \text{arctg}(\sqrt{1 - x^2}/x) + \pi\quad
\text{при}\ x < 0.
$$
Наконец, $\text{arccos}(0) = \pi/2$.
Как и в предыдущей задаче, можно считать, что функция $\text{arctg}$
уже реализована, и воспользоваться библиотечной
функцией $\text{atan}(x)$, а также константой $\pi$.
-
Вычислить
ln(x).
-
Вычислить
xα
|