ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2002, ТОМ 8, ВЫПУСК 2, СТР. 365-405

Топологическая теорема Хелли

C. А. Богатый

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок    Посмотреть в формате LaTeX

Дана аксиоматическая версия классической теоремы Хелли о пересечении выпуклых подмножеств $$R^m, которая содержит в себе различные формы как геометрической, так и топологической теоремы Хелли.

Вместо пространства $$R^m рассматривается произвольное нормальное пространство $X$, когомологической размерности (по заданной группе $G$) не больше $m$ и с нулевой $m$-мерной группой когомологий. Вместо выпуклых подмножеств рассматриваются замкнутые ациклические подпространства и вместо условия на пересечение накладываются (получаются) условия на значения произвольных простейших булевых функций. В крайних случаях (рассматриваются только операции объединения или пересечения) условия звучат так: для любых $k$ множеств семейства, при $k$£ m+1, или их общее пересечение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях не больше $m$-k, или их общее объединение имеет тривиальные когомологии во всех размерностях из $\{k$-2, ¼, m-1}. Тогда доказывается, что любое подпространство, полученное из подпространств семейства операциями пересечения и объединения, не пусто и ациклично.

Для всякого конечного замкнутого покрытия $m$-мерной сферы пересечение некоторых $(m$+2) элементов пусто или для некоторого $k$£ m+1 существуют такие $k$ элементов покрытия, пересечение которых имеет нетривиальные $(m$+1-k)-мерные когомологии.

Полученные результаты справедливы для произвольного нормального пространства конечной когомологической размерности, но являются частично новыми даже в случае плоскости. В частности, закрывается (частично) пробел в доказательстве плоской топологической теоремы Хелли 1930 года для сингулярных клеток. Именно, если в семействе плоских компактов объединение любых двух компактов линейно связно, а объединение любых трёх односвязно, то пересечение всех компактов не пусто. Показано, что если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано пересечение любых двух континуумов связно, а пересечение любых трёх не пусто, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогично, если в семействе плоских односвязных континуумов Пеано объединение любых двух и любых трёх континуумов односвязно, то всякий компакт, получающийся из континуумов семейства операциями пересечения и объединения (в конечном числе), является непустым односвязным континуумом Пеано. Аналогичные утверждения верны, если рассматривать класс неразбивающих плоскость континуумов.

Полнотекстовая версия статьи в формате PostScript (134 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k02/k022/k02204h.htm.
Изменения вносились 26 ноября 2002 г.