На первом этапе Черепаха и Заяц находятся в начале последовательности. На каждом шаге Черепаха сдвигается по стрелке один раз, а Заяц — дважды (рисунок 15.1. «Черепаха и Заяц: первый этап»). Мы утверждаем, что их встреча обязательно состоится, и не позже, чем Черепаха пройдёт первый круг цикла. И в самом деле, рано или поздно Черепаха достигнет начала цикла. Пронумеруем элементы последовательности в цикле числами $i=0,\dots ,\tau -1$. Как только Черепаха вступит в цикл (то есть окажется в положении $T=0$), Заяц уже будет где-то на цикле в положении $H=H^{*}$. Дальнейшее движение Черепахи по циклу подчиняется закону $T=i$, а Зайца — $H=H^{*}+\left(2i\right)mod\tau$. Условием встречи героев является сравнение $T\equiv H\left(modulo\tau \right)$, или $i\equiv H^{*}+\left(2i\right)mod\tau$, или просто $i\equiv H^{*}+2i$, или $i\equiv -H^{*}$. Наименьшим неотрицательным решением этого сравнения будет $i=\left(-H^{*}\right)mod\tau$, это $i$ и будет номером позиции, где произойдёт встреча.

Интересно, что сделанное Черепахой количество шагов на первом этапе делится на длину периода $\tau$. К моменту, когда Черепаха пройдёт по стрелкам путь $n$ от начала дистанции, Заяц пройдёт путь $2n$. В момент встречи они оба будут находиться на цикле, и поэтому выполнится сравнение $n\equiv 2n$, или $n\equiv 0$ (конечно же по модулю $\tau$).

Рисунок 15.1. Черепаха и Заяц: первый этап