ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2004, ТОМ 10, ВЫПУСК 3, СТР. 181-197

Проблемы алгебры, инспирированные универсальной алгебраической геометрией

Б. И. Плоткин

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Пусть $$Q -- многообразие алгебр. Для каждого многообразия $$Q и каждой алгебры $H$ из $$Q можно рассмотреть алгебраическую геометрию многообразия $$Q над алгеброй $H$. Мы также рассматриваем специальный категорный инвариант $K$_Q(H) этой геометрии. Классическая алгебраическая геометрия имеет дело с многообразием $$Q = Com-P всех ассоциативных и коммутативных алгебр над некоторым полем констант $P$. Алгебра $H$ в этих обозначениях является расширением базисного поля $P$. Геометрия в группах связана с многообразиями $Grp$ и $Grp-G$, где $G$ -- группа констант. Случай $Grp-F$, где $F$ -- свободная группа, связан с проблемами Тарского, посвящённым логике свободной группы. Описываемое общее понимание алгебраической геометрии в различных многообразиях алгебр инспирирует некоторые новые проблемы в алгебре и алгебраической геометрии. Задачи такого типа в большой степени определяют содержание универсальной алгебраической геометрии.

Например, общей и естественной задачей является следующая: когда алгебры $H$₁ и $H$₂ имеют одну и ту же геометрию? Или, более точно, каковы условия на алгебры из данного многообразия $$Q для того, чтобы алгебраические геометрии над ними совпадали? Мы рассматриваем два варианта совпадения: 1) $K$_Q(H₁) и $K$_Q(H₂) изоморфны; 2) данные категории эквивалентны.

Эта проблема напрямую связана со следующей общей алгебраической проблемой. Пусть $$Q⁰ -- категория всех свободных в многообразии $$Q алгебр $W\; =\; W(X)$, где $X$ конечно. Рассматриваются группы автоморфизмов $Aut($Q⁰), а также группы автоэквивалентностей категории $$Q⁰. Проблемой является описание этих групп для разных $$Q.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (196 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k04/k043/k04309h.htm
Изменения вносились 28 февраля 2005 г.