ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2004, ТОМ 10, ВЫПУСК 3, СТР. 181-197
Проблемы алгебры, инспирированные универсальной алгебраической
геометрией
Б. И. Плоткин
Аннотация
Посмотреть как HTML
Посмотреть как рисунок
Пусть Q -- многообразие
алгебр.
Для каждого многообразия Q и каждой
алгебры
из Q можно рассмотреть
алгебраическую геометрию многообразия Q над
алгеброй .
Мы также рассматриваем специальный категорный
инвариант Q(H) этой
геометрии.
Классическая алгебраическая геометрия имеет дело с многообразием
Q = Com-P
всех ассоциативных и коммутативных алгебр над
некоторым полем констант .
Алгебра
в этих обозначениях является расширением базисного
поля .
Геометрия в группах связана с многообразиями и , где
-- группа
констант.
Случай ,
где -- свободная группа,
связан с проблемами Тарского, посвящённым логике свободной
группы.
Описываемое общее понимание алгебраической геометрии в различных
многообразиях алгебр инспирирует некоторые новые проблемы
в алгебре и алгебраической геометрии.
Задачи такого типа в большой степени определяют содержание
универсальной алгебраической геометрии.
Например, общей и естественной задачей является следующая: когда
алгебры 1 и 2 имеют одну и
ту же геометрию? Или, более точно, каковы условия на алгебры из
данного многообразия Q для того, чтобы
алгебраические геометрии над ними совпадали? Мы рассматриваем два
варианта совпадения: 1) Q(H1)
и Q(H2)
изоморфны; 2) данные категории эквивалентны.
Эта проблема напрямую связана со следующей общей алгебраической
проблемой.
Пусть Q0 --
категория всех свободных в многообразии Q алгебр , где конечно.
Рассматриваются группы автоморфизмов Q0),
а также группы автоэквивалентностей категории Q0.
Проблемой является описание этих групп для разных Q.
Полнотекстовая
версия статьи в формате PDF (196 Kb)
URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k04/k043/k04309h.htm
Изменения вносились 28 февраля 2005 г.