ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2004, ТОМ 10, ВЫПУСК 3, СТР. 245-254

Теорема чередования для матриц, графом которых является фиксированное дерево

К.-М. да-Фонсека

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Пусть $A$ и $B$ -- $(n$´ n)-матрицы. Для множества индексов $S$Ì {1,¼,n} обозначим через $A(S)$ главную подматрицу, лежащую в строках и столбцах, занумерованных элементами $S$. Обозначим через $S\text{'}$ дополнение к $S$ и определим $$h (A,B) = å_Sdet A(S) det B(S'), где суммирование ведётся по всем подмножествам $\{1,$¼,n} и считается, что $det\; A($Æ) = det B(Æ) = 1. К. Р. Джонсон предположил, что если $A$ и $B$ -- эрмитовы матрицы и матрица $A$ является неотрицательно определённой, то многочлен $$h (lA, -B) имеет только вещественные корни. Г. Рублейн и Р. Б. Бапат доказали, что это верно при $n$£ 3. Бапат также доказал соответствующий результат для любых $n$ при дополнительном предположении, что обе матрицы $A$ и $B$ являются трёхдиагональными. В этой работе некоторые мало известные результаты о характеристических многочленах и присоединённых матрицах деревьев обобщены на матрицы, графом которых является фиксированное дерево. Доказана гипотеза для любого $n$ при дополнительном предположении, что обе матрицы $A$ и $B$ являются матрицами, граф которых -- дерево.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (139 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k04/k043/k04313h.htm
Изменения вносились 28 февраля 2005 г.