ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2005, ТОМ 11, ВЫПУСК 1, СТР. 141-158

Келерова геометрия гиперболического типа на многообразии невырожденных $m$-пар

В. В. Коннов

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Невырожденная $m$-пара $(A,$X) в $n$-мерном проективном пространстве $$RP_n состоит из $m$-плоскости $A$ и не пересекающей её $(n$- m - 1)-плоскости $$X в $$RP_n. Совокупность $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ всех невырожденных $m$-пар в $$RP_n является $2(n$- m)(n - m - 1)-мерным вещественно-аналитическим многообразием. Многообразие $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ является однородным пространством $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ = GL(n + 1, R)/GL(m + 1, R) × GL(n - m, R)$, на котором внутренним образом определена келерова структура гиперболического типа. Таким образом, многообразие $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ является гиперболическим аналогом комплексного грассманиана $$CG_m,n = U(n + 1)/U(m + 1) × U(n - m). В частности, многообразие $0$-пар $\$\backslash mathfrak\; N$₀ⁿ = GL(n + 1, R)/GL(1, R) × GL(n, R)$ является гиперболическим аналогом комплексного проективного пространства $$CP_n = U(n + 1)/U(1) × U(n). Как и $$CP_n, многообразие $\$\backslash mathfrak\; N$₀ⁿ$ является келеровым многообразием постоянной ненулевой голоморфной секционной кривизны (но относительно гиперболической метрики). В этом смысле $\$\backslash mathfrak\; N$₀ⁿ$ -- гиперболическая пространственная форма. Было доказано, что многообразие $0$-пар $\$\backslash mathfrak\; N$₀ⁿ$ глобально симплектоморфно тотальному пространству $T$*RP_n кокасательного расслоения над проективным пространством $$RP_n. Обобщение этого результата состоит в том, что многообразие невырожденных $m$-пар $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ глобально симплектоморфно тотальному пространству $T$*RG_m,n кокасательного расслоения над грассмановым многообразием $$RG_m,n $m$-мерных подпространств пространства $$RP_n.

В настоящей работе изучается каноническая келерова структура на $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$. Даётся описание двух типов подмногообразий на $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$, являющихся естественными гиперболическими пространственными формами, которые голоморфно изометричны многообразиям $0$-пар в $$RP_m+1 и в $$RP_{n - m} соответственно. Доказано, что через каждую точку многообразия $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ проходит $2(n$- m)-параметрическое семейство $2(m\; +\; 1)$-мерных гиперболических пространственных форм первого типа и $2(m\; +\; 1)$-параметрическое семейство $2(n$- m)-мерных гиперболических пространственных форм второго типа. Более того, доказано, что естественные гиперболические пространственные формы первого типа на $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $\$\backslash mathfrak\; N$_m+1ⁿ$, а естественные гиперболические пространственные формы второго типа на $\$\backslash mathfrak\; N$_mⁿ$ находятся в биективном соответствии с точками многообразия $\$\backslash mathfrak\; N$_m-1ⁿ$.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (231 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k05/k051/k05105h.htm
Изменения вносились 27 апреля 2005 г.