ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2005, ТОМ 11, ВЫПУСК 3, СТР. 139-154

Обратимые матрицы над решётками с псевдодополнениями

E. E. Маренич
В. Г. Кумаров

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Получена формула для нахождения наибольшего решения систем линейных уравнений над решётками. Приводятся применения полученного результата к теории решёточных матриц.

Пусть $(P,$£) -- решётка с псевдодополнениями с $\$\; \backslash tilde\; 0\; \$$ и $\$\; \backslash tilde\; 1\; \$$, $A=||a$_ij||_{n ´ n}, $a$_ij Î P для всех $i,j\; =\; 1,$¼,n. Пусть $A$* = ||a'_ij||_{n ´ n}, $a\text{'}$_ij = \bigwedge_{r = 1, r ≠ j}ⁿ a^*_ri для всех $i,j\; =\; 1,$¼,n, где $a$* -- псевдодополнение $a$Î P в $(P,$£). Матрица $A$ обратима справа над $(P,$£) тогда и только тогда, когда $A$× A^* = E над $(P,$£). Если $A$ обратима справа над $(P,$£), то $A$* -- наибольшая правая обратная к $A$ над $(P,$£). Матрица $A$ обратима справа над $(P,$£) тогда и только тогда, когда $A$ ортогональна по столбцам над $(P,$£). Матрица $D=A$× A^* является наибольшей диагональной матрицей, делящейся слева на матрицу $A$ над $(P,$£).

Обратимые матрицы над дистрибутивной решёткой $(P,$£) образуют полную линейную группу $GL$_n(P, £) относительно умножения. Пусть $(P,$£) -- конечная дистрибутивная решётка, $k$ -- число компонент связности диаграммы Хассе частично упорядоченного множества $(join(P,$£) − \tilde 0, £), где $join(P,$£) -- множество дизъюнктивно неприводимых элементов решётки $(P,$£). Тогда $GL$_n (P, £) @ S_n^k.

Приводятся некоторые свойства обратимых матриц над решётками с псевдодополнениями.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (180 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k05/k053/k05310h.htm
Изменения вносились 14 сентября 2005 г.