ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2006, ТОМ 12, ВЫПУСК 2, СТР. 71-87

Лемма о 3-секущих для многообразий с компонентами различной размерности

Дж. Й. Каминский
А. Канель-Белов
М. Тейхер

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Пусть $X$ -- неприводимое проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$. При $r$³ 3 верно следующее: если любая $(r$- 2)-плоскость $\backslash overline\{x$₁,..., x_r−1}, где $x$_i -- генерические точки, пересекает $X$ также в точке $x$_r, отличной от $x$₁,¼, x_r-1, то $X$ содержится в линейном подпространстве $L$, таком что $codim$_L X ≤ r − 2. Цели этой статьи -- во-первых, дать другой вывод этого результата для $r\; =\; 3$; во-вторых, обобщить его на многообразия с компонентами различной размерности. Ради большей ясности переформулируем нашу задачу следующим образом. Пусть $Z$ -- многообразие единой размерности $n$ (т. е. имеющее компоненты только этой размерности), не являющееся линейным пространством и вложенное в $$P^r, $r$³ n + 1; это многообразие может быть особым и/или приводимым. Многообразие 3-секущих в $Z$, скажем $V$_1,3(Z), имеет размерность, строго меньшую, чем $2n$, за исключением случая, когда $Z$ вложено в $(n\; +\; 1)$-мерное линейное пространство и имеет размерность не ниже $3$; в последнем случае $dim\; V$_1,3(Z) = 2n. Отсюда следует также, что если $dim\; V$_1,3(Z) = 2n, то можно вложить $Z$ в $$Pⁿ⁺¹. Затем мы исследуем более общий случай, когда $Z$ может иметь компоненты различной размерности. В этой ситуации пусть $Z$ -- многообразие, возможно особое, размерности $n$, которое может быть приводимым или иметь компоненты меньшей размерности. Пусть $Z$ вложено в $$P^r, где $r$³ n + 1, и $Y$ -- его собственное подмногообразие размерности $k$³ 1, $S$ -- компонента максимальной размерности в замыкании множества $\{l$Î G(1,r) | $ p Î Y, q₁,q₂ Î Z\Y, q₁,q₂,p Î l}. Мы показываем, что $S$ имеет размерность, строго меньшую, чем $n=k$, за исключением случая, когда объединение прямых в $S$ имеет размерность $n\; +\; 1$; тогда $dim\; S\; =\; n\; +\; k$. В последнем случае, если размерность пространства строго больше $n\; +\; 1$, объединение прямых в $S$ не может покрывать все пространство. Это основной результат нашей работы. Приведены также примеры, показывающие, что наша оценка является точной.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (219 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k06/k062/k06204h.htm
Изменения вносились 17 июня 2006 г.