ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2007, ТОМ 13, ВЫПУСК 8, СТР. 3-15

Геометрический подход к стабильным гомотопическим группам сфер. Инварианты Адамса--Хопфа

П. М. Ахметьев

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

В работе предложен геометрический подход к стабильным гомотопическим группам сфер, основанный на конструкции Понтрягина--Тома. В рамках этого подхода получено новое доказательство теоремы Адамса об инвариантах Хопфа для всех размерностей, исключая $15$, $31$, $63$, $127$. А именно, доказано, что в предположении $n\; >\; 127$ в стабильной гомотопической группе сфер $$P_n не существует элементов с инвариантом Хопфа, равным $1$. Новое доказательство основано на методах геометрической топологии. Используется теорема Понтрягина--Тома (в форме, предложенной Р. Уэллсом) о представлении стабильных гомотопических групп вещественного бесконечномерного проективного пространства (эти гомотопические группы эпиморфно отображаются на $2$-компоненты стабильных гомотопических групп сфер по теореме Кана--Придди) классами кобордизмов погружений в коразмерности $1$ замкнутых (вообще говоря, неориентированных) многообразий. Инвариант Хопфа выражается через соответствующий характеристический класс классифицирующего пространства диэдральной группы, вычисленный для многообразия самопересечения погружения коразмерности $1$, которое представляет заданный элемент в стабильной гомотопической группе. В новом доказательстве используется принцип геометрического контроля погружения в заданном классе регулярной гомотопии, открытый М. Громовым на основе теоремы Смейла--Хирша о погружениях.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (179 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k07/k078/k07801h.htm
Изменения вносились 13 июня 2008 г.