FPM 2010, ТОМ 16, ВЫПУСК 6, СТР. 45-62

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2010, ТОМ 16, ВЫПУСК 6, СТР. 45-62

Гиперболы над двумерными квазирешётками Фибоначчи

В. Г. Журавлёв

Аннотация

Посмотреть как HTML Посмотреть как рисунок

Для количества $n$ _s(a,b;X) точек $(x$ ₁,x₂) из двумерной квазирешётки Фибоначчи $F$ _s² уровня $s=0,1,2,$ ¼, лежащих на гиперболе $x$ ₁² - a x₂² = b и удовлетворяющих условиям $0$ £ x₁ £ X, $x$ ₂ ³ 0, доказывается асимптотическая формула

n

_s(a,b;X) ~ c_s(a,b) ln X при X ® ¥,

где коэффициент $c$ _s(a,b) явно вычисляется. Как следствие из данной формулы выводится следующий результат. Пусть $A$ _i, $i = 1,2$ , пробегают натуральные числа, $A$ ₁ £ X, числа $$ \overleftarrow {A}_i
$$ получаются из $A$ _i сдвигом в системе счисления Фибоначчи. Пусть t =( - 1+√(5))/2 -- золотое сечение. Тогда для количества решений $n$ _s(X) диофантовой системы

$$

\left\{ \begin{aligned}
& A_1^2+\overleftarrow {A}_1^2- 2 A_2 \overleftarrow {A}_2+ \overleftarrow {A}_2^2 = F_{2s},
& \overleftarrow {A}_1^2- 2 A_1 \overleftarrow {A}_1+A_2^2 - 2 A_2 \overleftarrow {A}_2 + 2 \overleftarrow {A}_2^2 = F_{2s-1},
\end{aligned} \right.
$$

где $F$ _m -- числа Фибоначчи, выполняется асимптотическое равенство

$$

n_s(X) \sim \frac{c_s}{\mathrm{arch}(1/\tau)} \ln X\quad \text{при}\quad X \rightarrow \infty
$$

с коэффициентом $c$ _s = 1/2 или $c$ _s = 1 для индексов $s = 0$ или $s$ ³1 соответственно.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (210 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k10/k106/k10605h.htm
Изменения вносились 5 июля 2011 г.