ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2011/2012, ТОМ 17, ВЫПУСК 5, СТР. 21-54

Оценки высоты в смысле Ширшова и на количество фрагментов малого периода

А. Я. Белов
М. И. Харитонов

Аннотация

Посмотреть как HTML    Посмотреть как рисунок

Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово $W$ называется $n$-разбиваемым, если его можно представить в виде $W\; =\; W$₀W₁...W_n, где подслова $W$₁, ¼ ,W_n идут в порядке лексикографического убывания. Из не $n$-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени $n$. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не являющихся $n$-разбиваемыми, над алфавитом из $l$ букв имеет ограниченную высоту $h$ над $Y$ -- множеством слов степени не выше $n$- 1. Мы показываем, что F(n,l), где $$F(n,l) = 2⁸⁷ l n^{12 log₃ n + 48}.

Пусть $l$, $n$ и $d$³ n -- некоторые натуральные числа. Тогда все слова над $l$-буквенном алфавитом длины больше, чем $$Y(n,d,l), либо содержат $xd$, либо являются $n$-разбиваемыми, где $$Y(n,d,l) = 2¹⁸ l (nd)^{3 log₃ (nd) + 13} d².

В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в "Днестровской тетради": пусть $F$_2,m -- свободное $2$-порождённое ассоциативное кольцо с тождеством $xm=\; 0$. Верно ли, что класс нильпотентности кольца $F$_2,m растёт экспоненциально по $m$? В работе показано, что в $l$-порождённой ассоциативной алгебре с тождеством $xd=\; 0$ класс нильпотентности меньше, чем $$Y(d,d,l). Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ниль-алгебр для произвольной характеристики. Изначальная оценка высоты у А. И. Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году -- экспоненциальная оценка.

Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не $n$-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины $2$, $3$, $n$- 1 в не $n$-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.

Полнотекстовая версия статьи в формате PDF (335 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k1112/k115/k11502h.htm
Изменения вносились 23 октября 2012 г.