Глава 22. Непрерывные дроби

Одна непрерывная дробь нам уже встречалась в главе 6. «Вычисление числа $\pi$». Согласно формуле Броункера $$\frac{4}{\pi }-1=\frac{\overline{)1^2}}{\overline{)2}}+\frac{\overline{)3^2}}{\overline{)2}}+\frac{\overline{)5^2}}{\overline{)2}}+\dots$$

Другой пример: $$\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\dots$$ Предположив, что эта дробь сходится к числу $a$, найдём это число. Для этого заметим, что $$a=\frac{1}{1+a}$$ (проверьте!). У этого уравнения два решения, из которых годится положительное $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. Между прочим, $a=\frac{1}{\phi }=\phi -1=\mathrm{0,61803398874989\dots }$, где $\phi$ — число Фидия из главы 9. «Числа Фибоначчи». Сама же непрерывная дробь имеет самое прямое отношение к числам Фибоначчи: они уютно расположились в числителях и знаменателях подходящих дробей $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{5}{8}$, $\frac{8}{13}$, $\dots$.

Следует заметить, что способ рассуждений, при помощи которого найдено правильное значение непрерывной дроби, содержит существенный изъян. Рассуждая точно так же, мы уже нашли в разделе «Способы приближённого вычисления числа $\pi$» «значение» бесконечной суммы $$1-1+1-1+1-\dots =\frac{1}{2}\text{.}$$ Странно, что сумма целых чисел оказалась дробным числом. Формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем $-1$ ведёт к тому же результату: $S=\frac{1}{1-\left(-1\right)}=\frac{1}{2}$. Впрочем, не будем забывать, что формула суммы бесконечной геометрической прогрессии применяется лишь при знаменателях, строго меньших единицы по модулю.

Укажем и ещё более странный результат, опять подтверждаемый, если можно так выразиться, формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии: $$S=1+2+4+8+16+\dots =1+2\left(1+2+4+8+\dots \right)=1+2S\text{,}$$ откуда $S=-1$, то есть сумма положительных слагаемых оказалась отрицательной! Всё дело в том, что поиск суммы производился в предположении о её существовании. Для полноты картины следовало бы рассмотреть и другой случай, когда сумма не существует, но тогда мы не получим никакого результата.

Весьма важное в математике число, $e=\mathrm{2,718281828459045\dots }$, имеет много названий: основание натуральных логарифмов, число Непера, число Эйлера. Невозможно перечислить ситуации, где в математике возникает это число, которое, к тому же, служит вечным напоминанием о дне рождения Л. Н. Толстого. Обычно $e$ определяют при помощи второго замечательного предела: $$e=\underset{s\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{s}\right)}^s\text{.}$$ Имеется также представление числа Непера как суммы бесконечного ряда $$e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720}+\frac{1}{5040}+\dots =\sum _{s=0}^{\infty }\frac{1}{s!}\text{.}$$

Как и число $\pi$, число Непера имеет несколько красивых представлений через непрерывные дроби: $$\begin{array}{l}e-2=\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)\frac{1}{2}}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)\frac{1}{3}}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)\frac{1}{4}}}{\overline{)1}}+\dots =\frac{\overline{)2}}{\overline{)2}}+\frac{\overline{)3}}{\overline{)3}}+\frac{\overline{)4}}{\overline{)4}}+\frac{\overline{)5}}{\overline{)5}}+\dots \\ =\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)2}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)4}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)6}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)8}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)1}}+\frac{\overline{)1}}{\overline{)10}}+\dots \end{array}$$

Читателям, заинтересовавшимся непрерывными дробями, мы рекомендуем брошюру [21].