«Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число, ужъ знаетъ».

Её придумали до реформы русской орфографии 1918 года, поэтому и буквы «ѥръ» в конце слов после согласных.

Как известно, число $π$ иррационально, следовательно, его точное числовое представление в памяти компьютера невозможно. Однако можно поставить задачу о вычислении $π$ с некоторой точностью.

Для приближённого вычисления числа $π$ применяются разные методы.

Один из способов (на практике не очень удобный) связан с вычислением бесконечной суммы (ряда) Лейбница : $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{i}}{2 i + 1} = \frac{π}{4} .$

Можно получить $π$ из суммы другого ряда — ряда Эйлера: $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .$

Естественно, на компьютере невозможно осуществить вычисление бесконечной суммы. Однако в математическом анализе доказывается, что оба ряда сходятся. Это значит, что последовательности частных сумм стремятся к некоторым числам (в наших примерах к $\frac{π}{4}$ и $\frac{π^{2}}{6}$ ), то есть сумма достаточно большого количества слагаемых ряда даст хорошее приближение для суммы. Задавшись требуемой точностью, можно даже указать необходимые количества слагаемых, чтобы обеспечить вычисление с этой точностью (конечно, без учёта ошибок округления при выполнении арифметических действий — такие ошибки очень трудно контролировать).

	Примечание
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем $- 1$ : $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ Найдём её сумму $S$ : $\begin{matrix} S = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots \\ = 1 - (1 - 1 + 1 - \dots) . \end{matrix}$ Заметим, что выражение в скобках ничем не отличается от выражения для $S$ : $S = 1 - S .$ Отсюда находим, что $S = \frac{1}{2}$ . Всё это очень странно… Сходится не всякий ряд. Единственный ряд, изучаемый в школе — геометрическая прогрессия: $1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots = \sum_{i = 0}^{\infty} q^{i} .$ Его сходимость зависит от $q$ : ряд сходится лишь при $\|q\| < 1$ . В этом случае сумма, как известно, равна $\frac{1}{1 - q}$ . Для сходимости необходимо, чтобы последовательность слагаемых стремилась к нулю. Но это условие не является достаточным. Простейшей иллюстрацией этого является расходящийся гармонический ряд: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i} .$ Сложив достаточное количество первых слагаемых, можно получить сколь угодно большую сумму.

Примечание

Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем $- 1$ : $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ Найдём её сумму $S$ : $\begin{matrix} S = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots \\ = 1 - (1 - 1 + 1 - \dots) . \end{matrix}$ Заметим, что выражение в скобках ничем не отличается от выражения для $S$ : $S = 1 - S .$ Отсюда находим, что $S = \frac{1}{2}$ .

Всё это очень странно…

Сходится не всякий ряд. Единственный ряд, изучаемый в школе — геометрическая прогрессия: $1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4} + \dots = \sum_{i = 0}^{\infty} q^{i} .$ Его сходимость зависит от $q$ : ряд сходится лишь при $|q| < 1$ . В этом случае сумма, как известно, равна $\frac{1}{1 - q}$ .

Для сходимости необходимо, чтобы последовательность слагаемых стремилась к нулю. Но это условие не является достаточным.

Простейшей иллюстрацией этого является расходящийся гармонический ряд: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots = \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{i} .$ Сложив достаточное количество первых слагаемых, можно получить сколь угодно большую сумму.

Наряду с бесконечными суммами (рядами) рассматривают также бесконечные произведения и другие бесконечные выражения.

Среди бесконечных произведений, пригодных для вычисления числа $π$ , следует отметить произведение Валлиса $\frac{2^{2}}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^{2}}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6^{2}}{5 \cdot 7} \cdot \frac{8^{2}}{7 \cdot 9} \cdot \dots = \prod_{i = 1}^{\infty} \frac{{(2 i)}^{2}}{(2 i - 1) (2 i + 1)} = \frac{π}{2}$ и произведение Виета $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}} \cdot \dots = \frac{π}{2} .$


Готовая программа		Постановка задачи

Глава 6. Вычисление числа $π$

Способы приближённого вычисления числа $π$

Глава 6. Вычисление числа π

Способы приближённого вычисления числа π

Глава 6. Вычисление числа $π$

Способы приближённого вычисления числа $π$