Площадь правильного $2^{k+1}$-угольника можно вычислить. Он состоит из $2^{k+1}$ одинаковых равнобедренных треугольников с боковой стороной $1$ (радиус круга) и углом при вершине $\frac{2\pi }{2^{k+1}}=\frac{\pi }{2^k}$. Поэтому площадь равна $$P_k=2^k\sin \frac{\pi }{2^k}\text{,}$$ и, следовательно, $$P_{k-1}=2^{k-1}\sin \frac{\pi }{2^{k-1}}\text{.}$$ Тогда $$\frac{P_k}{P_{k-1}}=\frac{2^k\sin \frac{\pi }{2^{\mathrm{k}}}}{2^{k-1}\sin \frac{\pi }{2^{\mathrm{k}-1}}}=\frac{2\sin \frac{\pi }{2^k}}{\sin \frac{2\pi }{2^k}}=\frac{1}{\cos \frac{\pi }{2^k}}$$ (последнее равенство получено по формуле синуса двойного угла). С другой стороны, $$\pi =P_{\infty }=P_1\cdot \frac{P_2}{P_1}\cdot \frac{P_3}{P_2}\cdot \frac{P_4}{P_3}\cdot \dots =2\cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}\cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi }{8}}\cdot \frac{1}{\cos \frac{\pi }{16}}\cdot \dots \text{.}$$

Осталось доказать, что каждый множитель в последнем произведении равен множителю с тем же порядковым номером в произведении Виета, то есть $$\frac{1}{\cos \frac{\pi }{4}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\text{,}\frac{1}{\cos \frac{\pi }{8}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\text{,}\frac{1}{\cos \frac{\pi }{16}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\text{,}$$ ну и так далее. Иными словами, нужно доказать при любом $k$ равенство $$d_k=2\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}\text{,}$$ где, как и раньше, $$d_k=\sqrt{\dots \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}$$ содержит $k$ знаков квадратного корня.

Что ж, докажем утверждение по индукции. Оно очевидно при $k=1$, так что теперь следует доказать индуктивный переход. Как уже было установлено выше, $d_k=\sqrt{2+d_{k-1}}$. Следовательно, должно выполняться $$2\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}=\sqrt{2+2\cos \frac{\pi }{2^k}}\text{.}$$ Но это прямо вытекает из формулы косинуса половинного угла $\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$, или $2\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{2+2\cos \alpha }$.

Метод Монте-Карло

Мы обсудим другой приближённый метод; он также связан с постепенным вычислением, при котором точность растёт. Правда, этот способ не даёт гарантированной точности вычисления, он сравнительно медленный, однако имеет множество достоинств, которые особенно проявляются при решении других задач. Этот способ предполагает приближённое вычисление площади некоторой фигуры или объёма некоторого тела. В прикладной математике часто бывает нужно вычислять объёмы тел, в том числе многомерных. Данный способ хорош тем, что в отличие от других работает одинаково быстро независимо от размерности многомерного тела. Способ годится и для вычисления многократных интегралов.

Для вычисления $\pi$ будем искать площадь единичного круга, или, что удобнее, его четвертинки. Площадь такой четвертинки равна $\frac{\pi }{4}$. Возьмём на координатной плоскости $\left(x,y\right)$ четверть круга единичного радиуса, заключённую в единичный квадрат. Разбросаем равномерно по квадрату много точек. Интуитивно ясно, что доля точек, попавших в четверть круга, приблизительно такая же, что и доля площади четверти круга в площади квадрата, то есть $\frac{\pi }{4}$. И чем больше точек мы разбросаем, тем точнее будет результат. Приложение на рисунке 6.2. «Вычисление числа $\pi$ методом Монте-Карло» наглядно показывает этот процесс.

Рисунок 6.2. Вычисление числа $\pi$ методом Монте-Карло